Calculando la aceleración de la gravedad con una manguera

Este experimento está pensado para que los profesores expliquen temas relacionados con la física a los estudiantes, o bien para personas que tengan ya un conocimiento medianamente avanzado de cinemática y dinámica. Esto es porque no podemos explicar con lujo de detalle todo lo que se va escribiendo ya que el experimento quedaría de la extensión de un capítulo completo de los libros de física y no es la intención. Sin embargo, mientras se tengan bien afianzados y comprendidos los conceptos de: vector, funciones parabólicas y carácter vectorial de la velocidad, todo debería fluir sin mayor problema. vector   parábolasCon este experimento bastante sencillo pretendemos ayudar a introducir fenómenos que pueden llegar a ser muy complicados sin las herramientas adecuadas. Así, nuestra idea es poder presentar temas avanzados de física y cálculo elemental de una manera dinámica, entretenida y sobre todo muy sencilla para todo aquel que pretenda iniciarse en el maravilloso mundo de la física.

Materiales:

  • Una manguera que funcione.
  • Un pliego de cartulina o cualquier otro papel perfectamente cuadriculado con medidas conocidas.
  • Un móvil o celular con cámara.
  • Comprensión de la gravedad, vectores y aceleración, así como funciones parabólicas al menos a nivel básico

Procedimiento

Colocaremos una manguera de manera tal que quede descansando en una superficie lisa, como una silla del jardín o una barda (debe estar suficientemente elevada como para que podamos observar lo que queremos, un metro y medio o dos debería bastar). Detrás de la manguera y perfectamente paralelo a esta colocaremos el pliego con las medidas que nosotros hicimos. Esto servirá como referencia para calcular aproximadamente a qué velocidad viaja el agua.   diseño de experimentoCon el teléfono con cámara haremos un video que muestre perfectamente cómo el agua avanza y describe una parábola al caer. Ahora, esta es la parte más engañosa del experimento. Debemos ser capaces de distinguir, preferentemente cuando el agua comienza a fluir o cuando se detiene, qué tantos cuadros avanza en un intervalo de tiempo. Así, podremos calcular la velocidad del agua que consideraremos constante (ya que no estamos haciendo nada para modificar su velocidad) con la siguiente ecuación:   ecuación velocidad promedioDonde «s» es la distancia que recorre en el intervalo t, que es el tiempo. La idea es ajustar la ecuación hasta lograr determinar, aproximadamente, cuál es la distancia s que recorre el agua en un segundo.   Velocidad promedio e inicialCon ese dato, proseguimos: dado que marcamos con distancias conocidas el pliego, procuraremos determinar por qué puntos pasa el agua. La idea es que justo en la boca de la manguera colocamos nuestro eje de referencia, es decir, será el punto (0,0) o el origen. De ahí, contaremos cada cuadro dependiendo la distancia de la que se trate e iremos asignando coordenadas a cada punto. Al final debemos de tener una parábola con todos los puntos seleccionados. Esto se puede hacer fácilmente con el programa Paint por ejemplo, con una imagen estática del video que hicimos. Una vez obtenidas nuestras coordenadas, pasamos al punto siguiente.   Eje de referencia

Las matemáticas

Si es cierto que este tipo de movimientos se llaman parabólicos, entonces deberíamos ser capaces de utilizar las ecuaciones de una parábola para conocer los datos que buscamos. La ecuación general de una parábola es: ax2 + bx + c = 0.   Ahora bien, se trata de un movimiento parabólico, lo que quiere decir que tendremos movimiento tanto en el eje “x” como en el eje “y”. Esto implica que necesitaremos las ecuaciones que describan ambos movimientos. Las ecuaciones generales para estos movimientos, sin tratamiento alguno, se agregarán a continuación con su respectiva explicación:   Tras haber obtenido cierta velocidad en la primera parte del experimento y manteniéndola relativamente constante en la segunda parte, el agua comienza su vuelo fuera de la maguera con cierta velocidad inicial V0 que además resulta ser la velocidad promedio obtenida anteriormente, o bien la velocidad de salida obtenida mediante el video. En esta parte, el experimento vuelve a tomar la forma de un tiro parabólico, por lo que se tiene una componente de la velocidad tanto en “x” como en “y”. Nótese entonces que para esta parte del experimento, se tiene un vector con cierta magnitud y dirección. La dirección en este caso, en el momento justo en el que abandona la manguera, es de q = 0°. Entonces, tenemos que:   ecuación magnitud vector En donde V = la magnitud de la velocidad inicial, Vx y Vy los componentes de la velocidad en el eje “x” y “y” respectivamente.   Además, tenemos que:   Vy = V0 sin θ (ecuación 3) en donde Vy = componente de la velocidad en “y”, V0 = la velocidad inicial (que es la velocidad promedio que denotamos como V).   Análogamente, para la componente de la velocidad en x tenemos que: Vx = V0 cos θ (ecuación 4) en donde Vx = velocidad en el eje “x” que, dado que no existe aceleración en dicho eje, es constante; V0 = velocidad inicial, que para este caso resulta ser también la que se denotó como V.   La ecuación que relaciona el desplazamiento en el eje “y” con la velocidad inicial V0, es:   Y = Yo + V0(t) + ½ g(t)2 (ecuación 5) En donde Y es el desplazamiento en dicho eje, V0 es la misma velocidad dada por V0, pero sólo consideramos el componente de la velocidad inicial en el eje y, es decir, Vy; t es el tiempo en el que el agua sale de la manguera y g es la aceleración gravitacional. Y0 es justo la altura a la que el agua abandona la manguera, que será además nuestro origen, por lo que tendrá valor de cero. Entonces, la ecuación 5 quedaría como:   Y = Vy(t) + ½ g(t)2 (ecuación 6)   Análogamente, debemos considerar lo que sucede en el eje “x”, por lo que podemos rescribir la ecuación 5 como:   X = Xo + V0(t) + ½ a(t)2 (ecuación 7) En donde X y X0 son el desplazamiento en X y el origen, respectivamente. Como en el caso anterior, X0 será el origen, así que también tiene valor igual a cero. Además, no existe aceleración en dicho eje, por lo que la aceleración (a) es igual a cero y todo ese término se hace cero también. Por último, t vuelve a ser el tiempo exacto en el que el agua sale por la manguera, por lo que tiene el mismo valor en la ecuación 6 que en la 7. Además, V0 también resulta ser V, pero en esta ocasión, consideramos el componente en X, es decir, Vx. Entonces, la ecuación anterior queda como:   X = Vx(t) (ecuación 8)   Dado que se incluyeron los componentes de la velocidad en “x” y en “y” y que tenemos las ecuaciones para obtener dichos valores, podemos sustituir las componentes por las ecuaciones vectoriales, por lo que obtendríamos:   ecuación 9 ecuación 10Dado que el tiempo para ambas ecuaciones es el mismo y resulta un parámetro difícil de medir con precisión, entonces podemos relacionar ambas ecuaciones y sustituir el valor del tiempo de la ecuación 10 en la ecuación 9, obteniendo que:   ecuación 10 despejada para t ecuación 11Dado V0 resulta ser un vector con componente en “y”  y en “x”, es decir, Vy y Vx, podemos recurrir a la entidad trigonométrica que relaciona ambos términos, que resulta ser Tan θ = Vy/Vx, entonces podemos sustituir la entidad trigonométrica en la ecuación 11, obteniendo, después de un poco de álgebra, que:   ecuación 12En este caso, el ángulo dado por q es igual a cero, y dado que el seno de cero grados es igual a cero, la tangente del ángulo es igual a cero, por lo que el término tiende a cero en la ecuación 12. Además, el coseno de θ tiene valor de uno (ya que el coseno de cero grados es igual a 1), por lo que no contribuye con ningún valor a la ecuación 12 en este experimento, por lo que podemos reducir la ecuación 12 a lo siguiente:   ecuación 13La ecuación 13, además de ser independiente del tiempo, sólo requiere registrar valores en “y” y en “x”, mismos que se obtienen con las coordenadas que obtuvimos para cada punto con la imagen del agua que cae, así como la velocidad inicial V0, que se puede conocer mediante el video. Al caer el agua, se genera una media parábola con pendiente negativa, que tiene la forma de la ecuación general para una parábola, dada por:   Y = –a(x2) + b(x) + C Ecuación general de una parábola (función polinómica cuadrática con pendiente negativa, denotada como pendiente = –a)   Si analizamos la expresión anterior, encontramos que:   En la ecuación 12, el término Tan θ(x) es equivalente al término b(x) en la ecuación general y dado que en este caso equivale a cero, todos los términos que le multipliquen o dividan y que sean comunes para ambas ecuaciones se hacen cero. Adicionalmente, el término Y0 es la ordenada al origen, que correspondería a C en la ecuación general, que puede tener un valor muy pequeño debido a errores sistemáticos, como diferencias en las velocidades iniciales V0 reportadas a lo largo del experimento o un mal cálculo de la velocidad inicial, pero tampoco es de mayor consecuencia para este estudio en particular. Entonces, debemos fijarnos en el término dado por:   término para obtener g   Este término igual a la pendiente de la ecuación general de una parábola, por lo que podemos escribir que:   ecuación 14 Nótese que el carácter negativo lo da la convención sobre el movimiento en el eje “y”, que indica que el movimiento será negativo si se realiza hacia valores cada vez más pequeños (o más negativos), mientras que será positivo si el movimiento se lleva a cabo hacia valores cada vez más grandes.   De la expresión anterior, debemos conocer tanto la pendiente (–a) como V0, que podemos obtener directamente mediante el video, como expusimos anteriormente.  El valor de g es justo el que queremos determinar, así que, si obtenemos el valor de la pendiente, mediante un despeje, se puede conocer el valor de g con bastante precisión. Pero, para ello, primero necesitamos construir una parábola, para lo que se utilizarán los valores promedio reportados tanto en “x” como en “y” los que obtuvimos mediante la imagen del agua cayendo, por lo que necesitamos al menos unos siete puntos.

registro de datos
Con dichos puntos, se construye la parábola y, mediante un análisis de regresión polinómico, que puede ser tan sencillo como introducir los valores en Excel y pedir que se nos muestre la ecuación del gráfico, obtenemos el valor de la pendiente de dicha parábola, para así, mediante un despeje de la ecuación 13, obtener el valor de la aceleración gravitacional en el lugar en el que nos encontremos.
Datos en excel
Claro está que el valor no será de ninguna manera el valor teórico de 9.81 m*s-2, dado que ese valor se reporta a cierta altitud y en condiciones de vacío para eliminar la fricción del aire, pero deberá ser bastante cercano.  
g = a * (4V02) (despeje de la ecuación 13 para obtener el valor de g).

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